a) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \

a)Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\)\[ \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - m > 0 \Leftrightarrow m < 1.\]

Xét \(2\left| {{x_1} + {x_2}} \right| = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)\[ \Leftrightarrow 4{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\]\[ \Leftrightarrow 3{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4{x_1}{x_2} = 0.\]

Áp dụng định lý Vi–ét, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{x_1}{x_2} = {m^2} - m\end{array} \right.\]

Ta được \[12{\left( {m - 1} \right)^2} + 4\left( {{m^2} - m} \right) = 0\]\[ \Leftrightarrow 4{m^2} - 7m + 3 = 0.\]

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = \frac{3}{4}\end{array} \right.\). Kết hợp với điều kiện, giá trị \[m = \frac{3}{4}\] thỏa mãn.

b)Ta có: \(\frac{1}{y} - \frac{2}{x} = \frac{3}{{2x + y}} \Leftrightarrow \left( {x - 2y} \right)\left( {2x + y} \right) = 3xy \Leftrightarrow 2{x^2} - 6xy - 2{y^2} = 0.\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2}\) hoặc \(\frac{x}{y} = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2}.\)

Với \(\frac{x}{y} = \frac{{3 + \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{{3 + \sqrt {13} }} = \frac{{ - 3 + \sqrt {13} }}{2}\). Ta được \(P = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - 2 = 11.\)

Với \(\frac{x}{y} = \frac{{3 - \sqrt {13} }}{2} \Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{2}{{3 - \sqrt {13} }} = \frac{{ - 3 - \sqrt {13} }}{2}\). Ta được \(P = \frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} = {\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right)^2} - 2 = 11.\)