a) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( {x;y} thỏa mãn \({x^2} - {y^2} + 2( {3y + y} = 23.\)

a) Ta biến đổi phương trình như sau

\({x^2} - {y^2} + 2\left( {3x + y} \right) = 23\)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - \left( {{y^2} - 2y + 1} \right) = 31\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} - {\left( {y - 1} \right)^2} = 31\)\( \Leftrightarrow \left( {x - y + 4} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 31\)

Từ đây, ta xét bảng sau \[\]

\[x - y + 4\]	31	1	\[ - 31\]	\[ - 1\]
\[x + y + 2\]	1	31	\[ - 1\]	\[ - 31\]
\[x\]	13	13	\[ - 19\]	\[ - 19\]
\[y\]	\[ - 14\]	16	16	\[ - 14\]

Vậy tất cả các nghiệm \[\left( {x,y} \right)\]thỏa mãn là \[\left( {13, - 14} \right);\left( {13,16} \right);\left( { - 19,16} \right);\left( { - 19, - 14} \right)\].

b) Gọi hai nghiệm nguyên của \(P\left( x \right) = {x^2} + bx + c\) là \[u,v\].

Theo định lý Vi – et ta được \[u + v = - b\], \[uv = c\].

Vì \[\left| {P\left( 9 \right)} \right|\] là số nguyên tố nên \[\left| {\left( {9 - u} \right)\left( {9 - v} \right)} \right|\] là số nguyên tố dẫn đến \[\left| {9 - u} \right| = 1\] hoặc \[\left| {9 - v} \right| = 1\].

Không mất tính tổng quát, ta giả sử \[\left| {9 - u} \right| = 1 \Leftrightarrow u \in \left\{ {8;10} \right\}\].

Trường hợp 1. \[u = 10\], vì \[\left| c \right| \le 16\], nên \[\left| v \right| \in \left\{ {0;1} \right\}\]\[ \Leftrightarrow v \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\].

Mặt khác \[9 - 1 = 8,\]\[9 - 0 = 9,\]\[9 + 1 = 10\] đều không là số nguyên tố nên trường hợp này loại.

Trường hợp 2. \[u = 8\], vì \[\left| c \right| \le 16\], nên \[\left| v \right| \le 2\].

Mà \[v\] phải là số chẵn nên từ đây suy ra \[v \in \left\{ { - 2;2} \right\}\]. Thử lại cả hai giá trị này thỏa mãn và ta nhận được giá trị của \[b,c\] tương ứng là \[ - 10,16\] và \[ - 6, - 16\].

Vậy tất cả cặp \[\left( {b,c} \right)\] thỏa mãn là \[\left( {b,c} \right) \in \left\{ {\left( { - 10,16} \right);\left( { - 6, - 16} \right)} \right\}\].