a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình ; ( 2x + y)( x-y)

a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

\[\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\]

Ta có \[\left( {2x + y} \right)\left( {x - y} \right) + 3\left( {2x + y} \right) - 5\left( {x - y} \right) = 22\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {2x + y} \right)\left( {x - y + 3} \right) - 5\left( {x - y + 3} \right) = 7\\ \Leftrightarrow \left( {2x + y - 5} \right)\left( {x - y + 3} \right) = 7\end{array}\]

Vì \[7 = 1.7 = 7.1 = \left( { - 1} \right).\left( { - 7} \right) = \left( { - 7} \right).\left( { - 1} \right)\] nên ta có 4 trường hợp xảy ra.

TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 1\\x - y + 3 = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{ - 2}}{3}\end{array} \right.\]    (loại).

TH2: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 = 7\\x - y + 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{10}}{3}\\y = \frac{{16}}{3}\end{array} \right.\]    (loại).

TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 =  - 1\\x - y + 3 =  - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 8\end{array} \right.\]    (thỏa mãn)

TH4: \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 5 =  - 7\\x - y + 3 =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 2\end{array} \right.\]    (thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm  \[\left( {x;y} \right)\] là \[\left( { - 2;8} \right)\] và \[\left( { - 2;2} \right)\]

b) Cho hai số tự nhiên \[a,b\] thỏa mãn \[2{a^2} + a = 3{b^2} + b.\] Chứng minh rằng \[2a + 2b + 1\] là số chính phương.

Ta có \[2{a^2} + a = 3{b^2} + b \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) = {b^2}\,\,\,\left( * \right)\]

Gọi \[d = \left( {a - b,2a + 2b + 1} \right)\] với \[d \in {\mathbb{N}^*}\]

Suy  ra \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {a - b} \right) \vdots d\\\left( {2a + 2b + 1} \right) \vdots d\end{array} \right. \Rightarrow \left( {a - b} \right)\left( {2a + 2b + 1} \right) \vdots {d^2}\] \[ \Rightarrow {b^2} \vdots {d^2} \Rightarrow b \vdots d.\]

Vì \[\left( {a - b} \right) \vdots d \Rightarrow a \vdots d \Rightarrow \left( {2a + 2b} \right) \vdots d\] mà \[\left( {2a + 2b + 1} \right) \vdots d\] nên \[1 \vdots d \Rightarrow d = 1\]

Do đó \[\left( {a - b,2a + 2b + 1} \right) = 1.\]  Từ  (*)  ta được \[a - b\] và \[2a + 2b + 1\] là số chính phương. Vậy \[2a + 2b + 1\] là số chính phương.