a) Tìm n thuộc Z để A = {4n + 5} / {5n + 3}} là số nguyên. b) Tìm x biết: ( x - 2)^6= 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021
a) Với \(n\) là số nguyên, \(A = \frac{{4n + 5}}{{5n + 3}}\) là số nguyên khi \[\left( {4n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right)\] nên \[5\left( {4n + 5} \right)\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right).\]
Suy ra \[\left[ {4\left( {5n + 3} \right) + 13} \right]\,\, \vdots \,\,\left( {5n + 3} \right)\]
Do đó \(5n + 3 \in \)Ư\(\left( {13} \right) = \left\{ {1;\,\, - 1;\,\,13;\,\, - 13} \right\}.\)
Ta có bảng sau:
\(5n + 3\) | 1 | \[ - 1\] | 13 | \[ - 13\] |
\[n\] | \( - \frac{2}{5}\) | \( - \frac{4}{5}\) | 2 | \( - \frac{{16}}{5}\) |
\(A\) |
|
| 1 |
|
Kết luận | Loại | Loại | Thỏa mãn | Loại |
Vậy với \[n = 2\]thì \[A\] nguyên.
b) Đặt \(B = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,021}}.\)
Suy ra \(2B = {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,022}}.\)
Do đó:
\(2B - B = \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,022}}} \right) - \left( {2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2\,\,021}}} \right)\)Hay \(B = {2^{2\,\,022}} - 2.\)
Theo bài, \({\left( {x - 2} \right)^6} = 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{2021}}\)
Suy ra \({\left( {x - 2} \right)^6} = {2^{2022}}\) nên \(x - 2 = {2^{337}}\)hoặc \(x - 2 = - {2^{337}}\)
Do đó \(x = {2^{337}} + 2\)hoặc \[x = - {2^{337}} + 2.\]