a) Tìm n để n^2 + 2006 là một số chính phương

Đặt n² + 2006 = a² (a ∈ ℤ)

⇒ 2006 = a² - n² = (a - n)(a + n) (1)

Mà (a + n) - (a - n) = 2n chia hết cho 2

⇒a + n và a - n có cùng tính chẵn lẻ

+) TH1: a + n và a - n cùng lẻ ⇒ (a - n)(a + n) lẻ, trái với (1)

+) TH2: a + n và a - n cùng chẵn ⇒ (a - n)(a + n) chia hết cho 4, trái với (1)

Vậy không có n thỏa mãn n²+2006 là số chính phương

b) Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 ⇒ n không chia hết cho 3

⇒ n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 (k∈N*)

+) n = 3k + 1 thì n² + 2006 = (3k + 1)² + 2006 = 9k² + 6k + 2007 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

⇒ n² + 2006 là hợp số 

+) n = 3k + 2 thì n² + 2006 = (3k + 2)² + 2006 = 9k² + 12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3

⇒ n² + 2006 là hợp số

Vậy n² + 2006 là hợp số.