a) Tìm m để f(x) = - (x^2) - 2x + m luôn âm với mọi x. b) Tìm m để g(x) = m(x^2) - 2(m - 1)x + m - 3 không âm với mọi x

Hướng dẫn giải

a) \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 2x + m\) ( \[a =  - 1 < 0\])

\(\Delta ' = {( - 1)^2} - ( - 1).m = 1 + m\).

Để \[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\] thì \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 + m < 0 \Leftrightarrow m <  - 1\).

b) Tìm \[m\] để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\) không âm với mọi x.

Xét \[m = 0\] thì \(g\left( x \right) = 2x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\). Do đó \[m = 0\] không thỏa mãn.

Xét \[m \ne 0\], khi đó \(g\left( x \right)\) là tam thức bậc hai có

\(\Delta ' = {(m - 1)^2} - m.(m - 3) = m + 1.\)

Để \(g\left( x \right) = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m - 3\)không âm với mọi x, tức là \(g\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 \le 0\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le  - 1\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset \).