a) Tìm giá trị lớn nhất của phân thức A = 35 x ^2 − 2 x + 6 .

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 2x + 6 = {x^2} - 2x + 1 + 5 = {\left( {x - 1} \right)^2} + 5\).

Vì \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + 5 \ge 5\).

Để phân thức \(A\) đạt giá trị lớn nhất thì biểu thức \({x^2} - 2x + 5\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Khi đó, \(A = \frac{{35}}{{{x^2} - 2x + 6}} = \frac{{35}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 5}} \le \frac{{35}}{5} = 7\).

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x - 1} \right)^2} = 0\) hay \(x = 1\).

 Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(A\) là 7 khi \(x = 1\).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}}\].

Ta có \(12 - 4x - {x^2} = - {x^2} - 4x - 4 + 16 = - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16\).

Vì \( - {\left( {x + 4} \right)^2} \le 0\) nên \( - {\left( {x + 4} \right)^2} + 16 \le 16\).

Để phân thức \(B\) đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức \[12 - 4x - {x^2}\] đạt giá trị lớn nhất.

Khi đó, \[B = \frac{{12}}{{12 - 4x - {x^2}}} = \frac{{12}}{{ - {{\left( {x + 4} \right)}^2} + 16}} \le \frac{{12}}{{16}} = \frac{3}{4}\].

Dấu xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 4} \right)^2} = 0\) hay \(x = - 4\).

 Vậy giá trị lớn nhất của phân thức \(B\) là \[\frac{3}{4}\] khi \(x = - 4\).