a) Tìm các số nguyên \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0.\)

1/6

b) Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực khác không thỏa mãn \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.\)

Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} = 0.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \(4{x^2} + 5{y^2} - 4xy + 2(2x + 3y) + 4 \le 0 \Leftrightarrow {(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} \le 1\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1\\{(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0\end{array} \right.\)

TH1: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = - 1\end{array} \right.\) .

TH2: \({(2x - y + 1)^2} + 4{(y + 1)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\4{(y + 1)^2} = 1\end{array} \right.\,\,(vn)\\\left\{ \begin{array}{l}{(2x - y + 1)^2} = 1\\y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x + 2)^2} = 1\\y = - 1\end{array} \right.\,\,(vn).\end{array} \right.\)

Vậy có đúng một cặp số thỏa mãn (x; y) = (-1; -1).

\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca = 0\)

Ta có : \({a^2} + 2bc = {a^2} + bc + ( - ab - ca) = (a - b)(a - c).\)

Tương tự có : \({b^2} + 2ca = (b - c)(b - a);\,\,\,{c^2} + 2ab = (c - a)(c - b).\,\,\,\)

\(\frac{1}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{1}{{{b^2} + 2ca}} + \frac{1}{{{c^2} + 2ab}} = \frac{1}{{(a - b)(a - c)}} + \frac{1}{{(b - c)(b - a)}} + \frac{1}{{(c - a)(c - b)}}\)

\( = \frac{1}{{(a - b)(a - c)}} - \frac{1}{{(b - c)(a - b)}} + \frac{1}{{(a - c)(b - c)}} = \frac{{b - c - (a - c) + a - b}}{{(a - b)(b - c)(a - c)}} = 0\)