a) Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (liên đoàn bóng đá thế giới) có dạng hình cầu với bán kính bằng 11cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng đá
14/14
(1,5 điểm)
a) Quả bóng đá theo tiêu chuẩn FIFA (liên đoàn bóng đá thế giới) có dạng hình cầu với bán kính bằng 11cm. Tính diện tích bề mặt của quả bóng đá (lấy \(\pi = 3,14\)).
b) Mảnh đất của bác An có dạng hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng 8m. Trên mảnh đất đó, bác An làm không gian thư giãn bao gồm: hồ nước là hình quạt tròn \(MAK\) có tâm \(A\) bán kính \(AM;\) khu trồng hoa là các hình quạt tròn \(PBN,\,\,RCQ,\,\,HDS\) lần lượt có tâm là \(B,C,D\) và có cùng bán kính. Hai điểm \(M,N\) thuộc cạnh \(AB\); hai điểm \(P,Q\) thuộc cạnh \(BC\); hai điểm \(R,S\) thuộc cạnh \(CD\); hai điểm \(H,K\) thuộc cạnh \(DA\) và \(MN = 2\) m (như hình bên).
Biết rằng, mỗi mét vuông làm hồ nước chi phí hết 300 nghìn đồng và mỗi mét vuông trồng hoa chi phí hết 200 nghìn đồng. Tính tổng chi phí nhỏ nhất để bác An làm không gian thư giãn trên (đơn vị nghìn đồng và lấy \(\pi = 3,14).\)
a) Quả bóng có bán kính \(R = 11{\rm{ cm}}\).
Diện tích bề mặt của quả bóng hình cầu được tính theo công thức \(S = 4\pi {R^2}\).
Thay số vào ta có: \(S = 4 \cdot 3,14 \cdot {11^2} = 4 \cdot 3,14 \cdot 121 = 1519,76\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Vậy diện tích bề mặt của quả bóng là \(1519,76{\rm{ c}}{{\rm{m}}^2}\).
b) Gọi bán kính của hồ nước hình quạt \(MAK\) là \(x\,\,{\mkern 1mu} (m)\) với \(0 < x < 8\).
Diện tích hồ nước (hình quạt tròn góc 90° do tứ giác là hình vuông) là: \({S_{h\hat o}} = \frac{1}{4}\pi {x^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right){\rm{.}}\)
Khu trồng hoa là các hình quạt \(PBN,\,\,RCQ,\,\,HDS\) có cùng bán kính và tâm ở các góc còn lại của hình vuông.
Ta có \(AB = 8\) m. \(AB = AM + MN + NB = x + 2 + NB\).
Suy ra \(NB = 8 - \left( {x + 2} \right) = 6 - x{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {\rm{m}} \right)\).
Vì các hình quạt \(PBN,\,\,RCQ,\,\,HDS\) có cùng bán kính nên bán kính của chúng đều là \(6 - x\,\,{\mkern 1mu} {\rm{(m)}}\).
Diện tích của ba hình quạt này (mỗi hình là \(\frac{1}{4}\) hình tròn) là: \({S_{hoa}} = 3 \cdot \frac{1}{4}\pi {\left( {6 - x} \right)^2}\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).\)
Chi phí làm hồ nước là 300 nghìn đồng/m².
Chi phí trồng hoa là 200 nghìn đồng/m².
Tổng chi phí \(T\) (nghìn đồng) là:
\(T = 300 \cdot \frac{1}{4}\pi {x^2} + 200 \cdot \frac{3}{4}\pi \cdot {\left( {6 - x} \right)^2}\)
\( = 75\pi {x^2} + 150\pi \left( {36 - 12x + {x^2}} \right)\)
\( = \pi \left( {75{x^2} + 5400 - 1800x + 150{x^2}} \right)\)
\( = \pi \left( {225{x^2} - 1800x + 5400} \right)\)
\( = 225\pi \left( {{x^2} - 8x + 24} \right)\)\( = 225\pi \left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} + 8} \right].\)
Vì \({\left( {x - 4} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x\), suy ra \({\left( {x - 4} \right)^2} + 8 \ge 8\).
Do đó \(T \ge 225\pi \cdot 8 = 1800\pi \).
Lấy \(\pi = 3,14\), ta có: \(T \ge 1800 \cdot 3,14 = 5652\) (nghìn đồng).
Dấu “=“ xảy ra khi \(x - 4 = 0\) hay \(x = 4\) (thỏa mãn \(0 < x < 6\)).
Vậy tổng chi phí nhỏ nhất để bác An làm không gian thư giãn là 5652 nghìn đồng.