a) Một hộp thực phẩm dạng hình trụ, có chiều cao của hình trụ là 5cm. Biết diện tích của đáy là 12,56 cm^2. Hãy tính thể tích của hộp thực phẩm. (Biết π ≈ 3,14).
8/8
(1,5 điểm)
a) Một hộp thực phẩm dạng hình trụ, có chiều cao của hình trụ là 5cm. Biết diện tích của đáy là 12,56 cm2. Hãy tính thể tích của hộp thực phẩm. (Biết π ≈ 3,14).
b) Với một tấm tôn hình tròn có bán kính R = 6 cm. Người ta muốn làm một cái phễu bằng cách cắt một phần (dạng hình quạt) của hình tròn như hình bên dưới. Thể tích lớn nhất của hình nón có được khi người ta cắt cung tròn của hình quạt có chiều dài là bao nhiêu?
a) Bán kính của đường tròn đáy của hình trụ là: \[S \approx 3,14 \cdot {R^2} = 12,56\] Suy ra \[{R^2} = 4\] nên \[R = 2\,\,{\rm{cm}}.\] Thể tích của hộp thực phẩm là: \[V = 3,14 \cdot {R^2} \cdot h = 3,14 \cdot 4 \cdot 5 = 62,8\,\,\left( {c{m^3}} \right).\] | 0,5
0,5 |
Gọi x (cm, x > 0) là chiều dài cung tròn được ghép tạo thành hình nón. Suy ra đường tròn đáy của hình nón có độ dài là x (cm). Bán kính R của hình tròn sẽ trở thành đường sinh của hình nón. Gọi bán kính của đáy là r (cm, r > 0). Suy ra \(2\pi r = x\) nên \(r = \frac{x}{{2\pi }}\). Chiều cao của hình nón là: \(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \). Thể tích của hình nón là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{\pi }{3}{\left( {\frac{2}{{2\pi }}} \right)^2}\sqrt {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \). Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: \[{V^2} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}}\left( {{R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} \right) \le \frac{{4{\pi ^2}}}{9}{\left( {\frac{{\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} + {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}}}{3}} \right)^3} = \frac{{4{\pi ^2}}}{9} \cdot \frac{{{R^6}}}{{27}}\] Do đó \[V\] lớn nhất khi và chỉ khi \[\frac{{{x^2}}}{{8{\pi ^2}}} = {R^2} - \frac{{{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}\] nên \[x = 4\sqrt 6 \,\pi \] (cm) |
0,25
0,25 |