a) Một công ty sản xuất hàng loạt thùng đựng hàng hóa bằng gỗ

a) Gọi cạnh đáy của thùng là \[a{\rm{ }}\left( {dm} \right)\] và chiều cao của thùng là \[h{\rm{ }}\left( {dm} \right)\]

Thể tích thùng là: \[{a^2}.h = 120{\rm{ (d}}{{\rm{m}}^3})\].

Phân xung quanh và mặt đáy của thùng có diện tích \[S = 4ah + {a^2}\] \[(d{m^2})\].

Ta có: \[4ah + {a^2} = 2ah + 2ah + {a^2} \ge 3\sqrt[3]{{2ah.2ah.{a^2}}} = 3\sqrt[3]{{4{{\left( {{a^2}h} \right)}^2}}} = 3\sqrt[3]{{{{4.120}^2}}} \approx 115,9(d{m^2})\]

Đẳng thức xảy ra khi vàchir khi \[2ah = {a^2}\] hay \[a = 2h\], mà \[{a^2}.h = 120\] suy ra \[{h^3} = 30\] hay \[h \approx 3,1(dm)\]

Và \[a = 2h \approx 6,2(dm)\].

Vậy thùng có cạnh đáy gần bằng \[6,2(dm)\], chiều cao gần bằng \[3,1(dm)\].

b) Ta có \[5{a^2} = 4\left( {ab + bc + ca} \right) + 4bc \le 4a\left( {b + c} \right) + {\left( {b + c} \right)^2}\].

Suy ra: \[5{a^2} - 4a\left( {b + c} \right) - {\left( {b + c} \right)^2} \le 0\] hay \[5{\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right)^2} - 4\left( {\frac{a}{{b + c}}} \right) - 1 \le 0\]

Do đó \[ - \frac{1}{5} \le \frac{a}{{b + c}} \le 1\], suy ra \[a \le b + c\].

Từ đó \[\sqrt {2\left( {a + b + c} \right)}  \le \sqrt {4\left( {b + c} \right)}  = 2\sqrt {b + c} \] và \[{b^2} + {c^2} \ge \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2}\] nên

\[S \le 2\sqrt {b + c}  - \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2} \le \left( {b + c + 1} \right) - \frac{1}{2}{\left( {b + c} \right)^2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2}{\left[ {\left( {b + c} \right) - 1} \right]^2} \le \frac{3}{2}\].

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[a = 1;b = c = \frac{1}{2}\] nên giá trị lớn nhât của \[S\]là \[\frac{3}{2}\]