a) Lớp 10A2 có 21 học sinh đạt học lực giỏi và 24 học sinh đạt hạnh kiểm tốt. Trong đó có 15 học sinh vừa đạt học lực giỏi và đạt hạnh kiểm tốt, 11 học sinh không đạt học lực giỏi và

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh của lớp 10A2 là:

\(21 + 24 - 15 + 11 = 41\) (học sinh).

Vậy lớp 10A2 có \(41\) học sinh.

b) Tập \(B\) có đúng \(2\) tập con khi và chỉ khi tập \(B\) có đúng \(1\) phần tử, hay phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\) có duy nhất \(1\) nghiệm thực. Do \(B \subset A\) nên \(1\) nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn \(\left[ {1;8} \right]\).

Xét phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)\)

TH1: Nếu \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]\).

Vì vậy \(m = 0\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu \(m \ne 0\) thì để \(\left( 1 \right)\) có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc \(\left[ {1;8} \right]\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) =  - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m =  - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.\)

Với \(m = \frac{1}{2}\) ta có \(\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với \(m = 1\) ta có \(\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]\) không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với \(m = 0\) và \(m = \frac{1}{2}\) thì tập \(B\) có đúng hai tập con đồng thời \(B \subset A\).