a) Kí hiệu S(n) là tổng các chữ số của số nguyên dương n. Biết a và b là hai số
a) Ta áp dụng tính chất a - S (a) \( \vdots \) 9 với mọi số nguyên dương a (bạn đọc tự chứng minh tính chất này)
Vậy ( a + b - S(a) = a + b - S(a+b)\( \vdots \)9
\( \Rightarrow \left( {a - S\left( a \right)} \right) + b \vdots 9 \Rightarrow b \vdots 9\)
Tương tự , ta được \(a \vdots 9.\) Vậy a , b chia hết cho 9 (đpcm)
b) Phương trình viết lại:
\(2{x^2} + 2x + 1 = 2{y^4} + 4{y^3} + 6{y^2} + 4y + 1\)
\( \Rightarrow 2{x^2} + 2x + 2 = 2{y^4} + 4{y^3} + 6{y^2} + 4y + 2\;\)
\(\;\;\;\; \Rightarrow {x^2} + x + 1 = {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2}\)
Vậy từ đây ta được \({x^2} + x + 1\) là số chính phương hay \(4{x^2} + 4x + 4 = {\left( {2x + 1} \right)^2} + 3\;\)là số chính phương.
Đặt (**)
Ta có:
\(\left( {**} \right) \Leftrightarrow {t^2} - {\left( {2x + 1} \right)^2} = 3\)
\( \Leftrightarrow \left( {t - 2x - 1} \right)\left( {t + 2x + 1} \right) = 3\)
Xét tất cả các trường hợp sau:
\(t - 2x - 1\) | 1 | 3 | -1 | -3 |
\(t + 2x + 1\) | 3 | 1 | -3 | -1 |
\(t\) | 2 | 2 | -2 | -2 |
\(x\) | 0 | -1 | -1 | 0 |
Vậy \(x = 0\;v\`a \;x = - 1\)
Với x = 0 thay vào (*), ta được:
(*)\( \Leftrightarrow {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2} = 1\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y^2} + y + 1 = 1 \Leftrightarrow {y^2} + y = 0 \Leftrightarrow y\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = - 1}\end{array}} \right.}\\{{y^2} + y + 1 = - 1\left( {v\^o \;nghiem} \right)}\end{array}} \right.\)
Với x = - 1 thay vào (*), ta được:
(*)\(\; \Leftrightarrow {\left( {{y^2} + y + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{y = - 1}\end{array}} \right.\)
Vậy phương trình có các nghiệm (x; y) = (0; 0); (0; - 1); (- 1; 0); (- 1; - 1)