a) Giải phương trình \({x^3} - 2{x^2} + x - 5( {x - 1}

a) Điều kiện xác định: \[x \ge 0\]. Đặt \[t = \left( {x - 1} \right)\sqrt x \] phương trình trở thành

\[{x^3} - 2{x^2} + x - 5\left( {x - 1} \right)\sqrt x - 6 = 0\]\[ \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2} - 5\left( {x - 1} \right)\sqrt x - 6 = 0\]

                                                \[ \Leftrightarrow {t^2} - 5t - 6 = 0\]\[ \Leftrightarrow \left( {t + 1} \right)\left( {t - 6} \right) = 0\]

Trường hợp 1. \[t = - 1\]suy ra \[0 \le x < 1\]. Đặt \[\sqrt x = a\,\,\,\,\,\left( {0 \le a < 1} \right)\], khi đó ta có

\[\left( {x - 1} \right)\sqrt x = - 1\]\[ \Leftrightarrow {a^3} - a + 1 = 0\] (vô lý \[{a^3} + 1 - a > 0\]).

Trường hợp 2. \[t = 6\]. Đặt \[\sqrt x = a\,\,\,\left( {a \ge 0} \right)\], khi đó ta có

                        \[\left( {x - 1} \right)\sqrt x = 6\]\[ \Leftrightarrow {a^3} - a - 6 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {a - 2} \right)\left( {{a^2} + 2a + 3} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow a = 2\] (vì \[{a^2} + 2a + 3 = {\left( {a + 1} \right)^2} + 2 > 2 > 0\])

\[ \Leftrightarrow x = 4\] (thỏa mãn điều kiện).

            Vậy tất cả các nghiệm thỏa mãn phương trình là \[x = 4\].

b) Ta đặt phương trình như sau \(\left\{ \begin{array}{l}5x + y = {x^2}{y^2} - 15\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\2x + 3y = 3{x^2}{y^2} - 13xy - 6\,\,\,\,\,(2).\end{array} \right.\)

Trường hợp 1. Nếu \[x = 0\] thì \[ - 15 = y = - 2\] vô lý nên trường hợp này vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu \[x \ne 0\], ta có biến đổi như sau

                        \[\left( 1 \right).3 - \left( 2 \right) \Leftrightarrow 13x = 13xy - 39\]\[ \Leftrightarrow xy = x + 3\]\[ \Leftrightarrow y = 1 + \frac{3}{x}\]

Thế \[y = 1 + \frac{3}{x}\] vào phương trình \[\left( 1 \right)\], ta có

\[5x + 1 + \frac{3}{x} = {\left( {x + 3} \right)^2} - 15\]\[ \Leftrightarrow 5{x^2} + x + 3 = x\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) - 15x\]

                                                                        \[ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 7x - 3 = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 2x - 1} \right) = 0\]

\[ \Leftrightarrow x \in \left\{ { - 3;1 + \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right\}\].

Nếu \[x = - 3\] thì \[y = 1 + \frac{3}{x} = 0\].

Nếu \[x = 1 + \sqrt 2 \] thì \[y = 1 + \frac{3}{x} = - 2 + 3\sqrt 2 .\]

Nếu \[x = 1 - \sqrt 2 \] thì \[y = 1 + \frac{3}{x} = - 2 - 3\sqrt 2 .\]

Vậy tất cả các nghiệm \[\left( {x;y} \right)\]thỏa mãn là \[\left( { - 3;0} \right);\left( {1 + \sqrt 2 , - 2 + 3\sqrt 2 } \right);\left( {1 - \sqrt 2 , - 2 - 3\sqrt 2 } \right).\]