a) Giải phương trình \({x^2} + 4x = 2

a)ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 3x \ge 0\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - \frac{1}{3}\\x \ge \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\).

Ta có: \({x^2} + 4x = 2\sqrt {1 + 3x}  + \sqrt {2x - 1} \)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 5 = 2\left( {\sqrt {1 + 3x}  - 2} \right) + \left( {\sqrt {2x - 1}  - 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = \frac{{2\left( {1 + 3x - 4} \right)}}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} + \frac{{2x - 1 - 1}}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}}\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) = \frac{{6\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}}\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 5 - \frac{6}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} - \frac{2}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}}} \right)\,\, = 0\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,(tm)\\x + 5 = \frac{6}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} + \frac{2}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}}\,\,\,\end{array} \right.\,\end{array}\]

Xét phương trình \[x + 5 = \frac{6}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} + \frac{2}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Do \(x \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \)\[\frac{6}{{\sqrt {1 + 3x}  + 2}} + \frac{2}{{\sqrt {2x - 1}  + 1}} < \frac{6}{2} + \frac{2}{1} = 5\] và \(x + 5 \ge \frac{{11}}{2} > 5\)

nên phương trình \[\left( * \right)\] vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \[x = 1\].

b)Từ giả thiết \[x + y + z = 1 \Rightarrow x + yz = x(x + y + z) + yz = (x + y)(x + z).\]

Tương tự \[y + zx = (y + z)(y + x);\,z + xy = (z + x)(z + y).\]

Do đó \(P = \frac{{(x + y)(x + z)}}{{y + z}} + \frac{{(y + z)(y + x)}}{{z + x}} + \frac{{(z + x)(z + y)}}{{x + y}}.\)

Đặt x+y=a , y+z=b,  z+x=c \( \Rightarrow a,b,c > 0\) và \(a + b + c = 2.\)

\[\begin{array}{l}P = \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{{ab}}{c} + \frac{{ac}}{b}} \right) + \left( {\frac{{bc}}{a} + \frac{{ba}}{c}} \right) + \left( {\frac{{ca}}{b} + \frac{{cb}}{a}} \right)} \right]\\ \ge \frac{1}{2}\left( {2\sqrt {\frac{{ab}}{c}.\frac{{ac}}{b}}  + 2\sqrt {\frac{{bc}}{a}.\frac{{ba}}{c}}  + 2\sqrt {\frac{{ca}}{b}.\frac{{cb}}{a}} } \right) = a + b + c = 2.\end{array}\]

Dấu  xảy ra khi \(a = b = c = \frac{2}{3}.\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) bằng \(2\) khi \(x = y = z = \frac{1}{3}.\)