a. giải phương trình sin (2x + pi/2) = sin (x - pi/3)

a) \[\sin \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = \pi - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x = \frac{{4\pi }}{3} - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Vậy phương trình có nghiệm \[x = - \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi ,\quad x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].
b) Số tiền bỏ heo của An mỗi ngày tạo thành một cấp số cộng có số hạng đầu \({u_1} = 1000\) công sai \(d = 1000\). Tổng số tiền bỏ heo tính đến ngày thứ n là:
\({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}\)
Ngày thứ 89, tổng số tiền bỏ heo là
\({S_{89}} = \frac{{89\left[ {2.1000 + \left( {89 - 1} \right).1000} \right]}}{2} = 45.89.1000 = 4005000\) đồng.
c) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\sqrt {4x + 5} - 2x - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{4x + 5 - {{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4{x^2} - 8x - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\left( {\sqrt {4x + 5} + 2x + 3} \right)}}\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{ - 4}}{{\sqrt {4x + 5} + 2x + 3}} = - 2\).