a) Giải phương trình: 2x căn bậc hai {2x + 3}  = 3{x^2} + 6x + 1\].

a)  Giải phương trình: \[2x\sqrt {2x + 3}  = 3{x^2} + 6x + 1.\] 

ĐKXĐ: \[x \ge \frac{{ - 3}}{2}\]

Ta có

Pt \[ \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 3 + 2x\sqrt {2x + 3}  = 4{x^2} + 8x + 4 \Leftrightarrow {\left( {x + \sqrt {2x + 3} } \right)^2} = {\left( {2x + 2} \right)^2}\]

    \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \sqrt {2x + 3}  = 2x + 2\\x + \sqrt {2x + 3}  =  - 2x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {2x + 3}  = x + 2\\\sqrt {2x + 3}  =  - 3x - 2\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x + 1 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\9{x^2} + 10x + 1 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x =  - 1\,(n)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le  - \frac{2}{3}\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,(n)\\x =  - \frac{1}{9}\,\,(l)\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm là \[x =  - 1\].

b)  Giải hệ phương trình:

       \[\left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4xy + 3x - 4y - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {x - 2y}  = \sqrt {2x - 2y + 5} .\;\end{array} \right.\]

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) \ge 0\\x + 1 \ge 0\\x - 2y \ge 0\\2x - 2y + 5 \ge 0\end{array} \right.\)

Ta có phương trình (2)

 \( \Leftrightarrow x + 1 + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  + x - 2y = 2\left( {x - y} \right) + 5\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 4 \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right)}  = 2\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2y} \right) = 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2xy + x - 2y = 4\,\,(*)\end{array}\)

Ta có phương trình (1)

 \[ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right) + x - 4 = \sqrt {9\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2xy + x - 2y} \right)} \;\]

\[ \Leftrightarrow 8 + x - 4 = \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \;\]\[ \Leftrightarrow \sqrt {36\left( {x - 1} \right)} \; = x + 4\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\36\left( {x - 1} \right)\; = {x^2} + 8x + 16\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\{x^2} - 28x + 52 = 0\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 4\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\,\,\,(n)\\x = 26\,\,\,(n)\end{array} \right.\end{array} \right.\]

+ Với \(x = 2\) thay vào (*) ta có:

pt\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 4 - 4y + 2 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 6y =  - 2 \Leftrightarrow y = \frac{1}{3}\) (thỏa mãn).

+ Với \(x = 26\) thay vào (*) ta có:

\({\rm{(*)}} \Leftrightarrow 676 - 52y + 26 - 2y = 4 \Leftrightarrow  - 54y =  - 698 \Leftrightarrow y = \frac{{349}}{{27}}.\)(thỏa mãn).

            Kết luận: Hệ có 2 nghiệm là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \frac{1}{3}\end{array} \right.\) và  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 26\\y = \frac{{349}}{{27}}\end{array} \right.\).