a) Giải phương trình: 2 (17x^2 - 6 ) + ( x^2 -4x + 3 ) căn bậc hai 2x + 5= 2x ( 3x^2 + 22)

3/5

a) Giải phương trình: \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right).\)

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(A\left( {146;2022} \right).\) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox.\) Tìm số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH.\) (Điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ là các số nguyên).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a) Giải phương trình \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\)

+ Điều kiện \(2x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - \frac{5}{2}.\)

Phương trình \(2\left( {17{x^2} - 6} \right) + \left( {{x^2} - 4x + 3} \right)\sqrt {2x + 5} = 2x\left( {3{x^2} + 22} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\)\[\]

\( \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left[ {6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} } \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\6{x^2} - 16x - 4 - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right..\)

Phương trình \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 6{\left( {x - 1} \right)^2} - 2\left( {2x + 5} \right) - \left( {x - 1} \right)\sqrt {2x + 5} = 0\,\,\,\,\left( 3 \right).\)

+ Khi \(x = 1:\) Không thỏa mãn phương trình \(\left( 3 \right).\)

+ Khi \(x \ne 1,\,\,\left( 3 \right) \Leftrightarrow 2\frac{{2x + 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \frac{3}{2}\\\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2\end{array} \right..\)

\(\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\9{x^2} - 26x - 11 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9}.\)

\(\frac{{\sqrt {2x + 5} }}{{x - 1}} = - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 1\\4{x^2} - 10x - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow x = \frac{{5 - \sqrt {29} }}{4}.\)

Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là \(x \in \left\{ {3;\,\frac{{13 + 2\sqrt {67} }}{9};\frac{{5 - \sqrt {29} }}{4}} \right\}.\)

a) Giải phương trình: 2 (17x^2 - 6 ) + ( x^2 -4x + 3 ) căn bậc hai 2x + 5= 2x ( 3x^2 + 22) (ảnh 1)

Vì \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Ox\) nên \(H\left( {146;0} \right).\)

Gọi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên trục \(Oy,\) suy ra \(B\left( {0;2022} \right).\)

Gọi \(C\) là trung điểm của đoạn \(OA,\) suy ra \(C\left( {73;2011} \right).\)

Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right){\rm{ }}\left( {{x_0};{y_0} \in \mathbb{Z}} \right)\) là điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) khi và chỉ khi điểm \(M'\left( {{{x'}_0};{{y'}_0}} \right){\rm{ }}\left( {{{x'}_0};{{y'}_0} \in \mathbb{Z}} \right)\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(C\) nằm trong \(\Delta OAB.\)

Suy ra số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAH\) bằng số điểm nguyên nằm trong \(\Delta OAB.\)

Do đó số điểm nguyên nằm trong tam giác \(OAH\) bằng \(\frac{1}{2}\)(số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật \(ABOH\) trừ đi số điểm nguyên nằm trên đoạn thẳng \(OA).\)

Số điểm nguyên nằm trong hình chữ nhật \(ABOH\) bằng \(145.2021 = 293045.\)

Phương trình đường thẳng \(OA\) là \(y = \frac{{1011}}{{73}}x.\) Từ đó kiểm tra được số điểm nguyên trên đoạn thẳng \(OA\) (trừ điểm \(O\) và \(A\)) bằng \(1.\)

Vậy số điểm nguyên trong \(\Delta OAH\) bằng \(\frac{{293045 - 1}}{2} = 146522.\)