a) Giải hệ phương trình (x^2) + xy + y - 1 = 0; x + căn bậc hai của (x + 2y) = y - 1 b) Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = 2 cm, đáy lớn CD = 6 cm và M là một điểm nằm trên cạnh BC
Hướng dẫn giải
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + xy + y - 1 = 0}&{(1)}\\{x + \sqrt {x + 2y} = y - 1}&{(2)}\end{array}} \right.\)
Điều kiện \(x + 2y \ge 0\).
Phương trình (1) trở thành: \(\left( {x + 1} \right)\left( {x + y - 1} \right) = 0\)
\(x = - 1\) hoặc \(y = 1 - x\)
TH1: \(x = - 1\), thế vào (2) ta có: \( - 1 + \sqrt {2y - 1} = y - 1\) \(\sqrt {2y - 1} = y\) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y \ge 0}\\{2y - 1 = {y^2}}\end{array}} \right.\) \(y = 1\) (thỏa mãn) | TH2: \(y = 1 - x\), thế vào (2) ta có: \(x + \sqrt {x + 2 - 2x} = 1 - x - 1\) \(\sqrt {2 - x} = - 2x\quad \) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \le 0}\\{2 - x = 4{x^2}}\end{array}} \right.\) \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {33} }}{8}\) (loại) hoặc \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{8}\) (thỏa mãn) |
Với \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt {33} }}{8}\) thì \(y = \frac{{9 + \sqrt {33} }}{8}.\)
b)
Đề bài tương đương với tìm \(x = \frac{{BM}}{{BC}}\) để \({S_{MAB}} + {S_{MCD}} = \frac{5}{8}{S_{ABCD}}.\quad (*)\)
Gọi \(h\) là chiều cao của hình thang, ta có:
\({S_{MAB}} + {S_{MCD}} = \frac{{x \cdot h \cdot AB}}{2} + \frac{{\left( {1 - x} \right)h \cdot CD}}{2} = xh + 3\left( {1 - x} \right)\,h = \left( {3 - 2x} \right)h\)
\({S_{ABCD}} = \frac{{h\left( {AB + CD} \right)}}{2} = 4h.\)
Từ \((*)\) ta có \(3 - 2x = \frac{5}{2}\) suy ra \(x = \frac{1}{4}.\)
Vậy \(\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{1}{4}.\)