a) Giải hệ phương trình x+ y^2 =10 và 2|x| -3y^2 =-25

a) Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: \[\left\{ \begin{array}{l}2\left| x \right| + 2{y^2} = 20\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2\left| x \right| - 3{y^2} = - 25\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

Trừ từng vế phương trình (2) và (1), ta được: \[5{y^2} = 45 \Leftrightarrow {y^2} = 9 \Rightarrow y = \pm 3\]

Với \[y = \pm 3\], thay vào phương trình (1), ta được \[\left| x \right| = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình đã cho là \[S = \left\{ {\left( { - 1\,;\,3} \right)\,,\,\left( {1\,;\,3} \right),\,\left( { - 1\,;\, - 3} \right)\,,\,\left( {1\,;\, - 3} \right)} \right\}\]

b) \[x + \frac{1}{x} + \sqrt {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4} = 3\,\,\,\,\](3)

Điều kiện \[\left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} - 4 \ge 0\end{array} \right.\,\,\,\left( * \right)\].

Đặt \[x + \frac{1}{x} = t,\,\left| t \right| \ge 2\,\,\left( {**} \right)\]. Khi đó \[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\], phương trình (3) có dạng:

\[t + \sqrt {{t^2} - 6} = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{t^2} - 6} = 3 - t \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sqrt 6 \le t \le 3\\t \le - \sqrt 6 \end{array} \right.\\{t^2} - 6 = {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\sqrt 6 \le t \le 3\\t \le - \sqrt 6 \end{array} \right.\\t = \frac{5}{2}\end{array} \right. \Rightarrow t = \frac{5}{2}\]

Với \[t = \frac{5}{2}\], thay vào \[\left( {**} \right)\], ta được \[x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 2 = 0\, \Rightarrow \,\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\,\,\left( {{\rm{t/m}}\,\left( * \right)} \right)\\x = 2\,\,\left( {{\rm{t/m}}\,\left( * \right)} \right)\end{array} \right.\].

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là \[S = \left\{ {\frac{1}{2}\,;\,2} \right\}\].