a) Giải hệ phương trình x+ y = 5 và 3x -2y = 5

a) Giải hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\3x - 2y = 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 2y = 10\\3x - 2y = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x = 15\\y = 5 - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 5 - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có tập nghiệm là: \(S = \left\{ {\left( {3;2} \right)} \right\}\).

b) Giải phương trình: \({x^2} - 9x + 14 = 0\).

Ta có \(\)\(\Delta  = {\left( { - 9} \right)^2} - 4.14 = 81 - 56 = 25\rangle 0\)\(\)

\( \Rightarrow \) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {25} }}{{2.1}} = 2;{x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {25} }}{{2.1}} = 7.\)

Vậy phương trình có tập nghiệm là:\(S = \left\{ {2;7} \right\}.\)

c) Cho phương trình: \({x^2} - (m + 2)x + m - 3 = 0\)(*), với m là tham số.

1) Chứng minh rằng phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\) > 5.

Xét phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m - 3 = 0(*),\)với m là tham số.

1) Phương trình (*) có: \(\Delta  = {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - 4.1.\left( {m - 3} \right) = {m^2} + 4m + 4 - 4m + 12 = {m^2} + 16\) >0 với mọi m. Vậy (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2) Với mọi m thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)thỏa hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}.{x_2} = m - 3.\end{array} \right.\)

Theo bài ra: \({x_1} + {x_2} + 2{x_1}{x_2}\)>5 \( \Leftrightarrow m + 2 + 2\left( {m - 3} \right)\)>5\( \Leftrightarrow m + 2 + 2m - 6\)>5\( \Leftrightarrow 3m > 9 \Leftrightarrow m > 3.\)

Vậy m > 3 là các giá trị cần tìm.