a) Giải hệ phương trình 2 căn bậc hai x-3y =16-3x+9y

a)Điều kiện: \[x - 3y \ge 0;x \ge 3;y \ge - 3.\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}(1) \Leftrightarrow 3(x - 3y) + 2\sqrt {x - 3y} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {\sqrt {x - 3y} - 2} \right)\left( {3\sqrt {x - 3y} + 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 3y} = 2\\ \Leftrightarrow x = 4 + 3y.\end{array}\]

Thế \[x = 3y + 4\] vào phương trình (2) ta được \[2\sqrt {3y + 1} + \sqrt {y + 3} = 5y + 1 \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {3y + 1} - 2} \right) + \left( {\sqrt {y + 3} - 2} \right) = 5y + 1 - 6\]

\[ \Leftrightarrow 2\frac{{3\left( {y - 1} \right)}}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{{y - 1}}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5} \right) = 0{\rm{   }}\left( * \right)\]

Nhận thấy \(\frac{6}{{\sqrt {3y + 1} + 2}} + \frac{1}{{\sqrt {y + 3} + 2}} - 5 < 3 + \frac{1}{2} - 5 < 0\) với mọi \(y \ge - 3.\)

Do đó \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(y = 1\)(thỏa mãn).

Với \[y = 1\] ta được \[x = 7\](thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {7;1} \right).\)

b)Đặt \[z = \frac{{xy}}{{x + y + 1}} \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{{xy}} \Rightarrow \frac{1}{z} + 1 = \left( {\frac{1}{x} + 1} \right)\left( {\frac{1}{y} + 1} \right){\rm{ }}\left( 1 \right).\]

Với mỗi tập các số dương \[\left\{ {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right\}\]tùy ý, xét biểu thức:

\[P\left( {{x_1};{x_2};...{x_n}} \right) = \left( {\frac{1}{{{x_1}}} + 1} \right)\left( {\frac{1}{{{x_2}}} + 1} \right)....\left( {\frac{1}{{{x_n}}} + 1} \right).\]

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra mỗi lần xóa đi 2 số bất kì \(x,y\) rồi viết lên bảng số \[\frac{{xy}}{{x + y + 1}}\]các số còn lại trên bảng giữ nguyên thì giá trị biểu thức \(P\) của các số trên bảng không đổi.

Gọi số cuối cùng là a \[ \Rightarrow P(a) = P\left( {\frac{1}{1};\frac{1}{2};\frac{1}{3};...;\frac{1}{{2022}};\frac{1}{{2023}}} \right)\]

\[ \Rightarrow \frac{1}{a} + 1 = \left( {\frac{1}{1} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{2}}} + 1} \right)...\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2022}}}} + 1} \right).\left( {\frac{1}{{\frac{1}{{2023}}}} + 1} \right) = 2024! \Rightarrow a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]

Vậy số còn lại trên bảng là \[a = \frac{1}{{2024! - 1}}.\]