a) Chứng minh rằng: SABCD ≤ AC/4 (MN + NP + PQ + QM)

a) Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của QN, MN, PQ

Khi đó: \(BJ = \frac{{MN}}{2}\)

Tương tự: \(DK = \frac{{PQ}}{2};IJ = \frac{{QM}}{2};IK = \frac{{PN}}{2}\)

Vì BD ≤ BJ + JI + IK + KD

Do đó:

S_ABCD = \(\frac{{AC}}{2}.BD \le \frac{{AC}}{2}\left( {BJ + JI + IK + KD} \right) = \frac{{AC}}{4}\left( {MN + NP + PQ + QM} \right)\)

b) Chu vi tứ giác MNPQ là: MN + NP + PQ + QM

= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)

Dấu “=” xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ // NP, MN // PQ, MN = PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông cân bằng nhau)

Khi đó MNPQ là hình chữ nhật.