a) Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và

a) Chứng minh giá trị của biểu thức

 \(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt a }}{{a + 2\sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{a - 1}}} \right):\frac{{\sqrt a }}{{a\sqrt a  + a - \sqrt a  - 1}}\) không phụ thuộc vào giá trị của a, với \(a > 0\) và \(a \ne 1\).

Với \(a > 0,a \ne 1\) ta có:

\(P = \left[ {\frac{{2 + \sqrt a }}{{{{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt a }}{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}\)

\( = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a  + 2} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right) - \left( {\sqrt a  - 2} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right){{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a }}\)

\( = \left[ {\frac{{2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a  - 1} \right){{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt a  - 1} \right){{\left( {\sqrt a  + 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a }} = 2.\)

Vậy giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của a.

b) Cho a, b, c là ba số nguyên dương thỏa mãn \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\). Chứng minh \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2}\) là một số chính phương.

Ta có \(\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = \frac{1}{c} \Leftrightarrow ab = 2ac + 4bc \Leftrightarrow ab - 2ac - 4bc = 0.\)

Khi đó \(Q = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} = {a^2} + 4{b^2} + 16{c^2} + 4\left( {ab - 2ac - 4bc} \right)\)

\( = {(a + 2b - 4c)^2}\) là một số chính phương.