a)     Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số thực khác 0 thỏa mãn:

a) Cho \(x,\;y,\;z\) là ba số thực khác 0 thỏa mãn: \(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3}\) =1 và \(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z}\) = 0. Chứng minh rằng: \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9}\) =1

Bằng cách quy đồng mẫu số ta được:

               \(\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} \Rightarrow yz + 2zx + 3xy = 0\;\;\;\left( 1 \right)\)

Lại có:

                                        \({\left( {x + \frac{y}{2} + \frac{z}{3}} \right)^2} = {x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9} + 2\left( {\frac{{xy}}{2} + \frac{{yz}}{6} + \frac{{zx}}{3}} \right)\)

              \(\; = {x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9} + \frac{{3xy + yz + 2xz}}{3} = 1\;\;\;\left( 2 \right)\)

Kết hợp (1) và (2) ta được: \({x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + \frac{{{z^2}}}{9}\) =1

b) Cho \(f\left( n \right) = \) \(\frac{2}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\) với n là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức:

         \(S = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {40} \right)\)

Biến đổi:

                                     \(f\left( n \right) = \frac{2}{{\sqrt {2n + 1} + \sqrt {2n - 1} }}\)

          \( = \frac{{2\left( {\sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} } \right)}}{{\left( {2n + 1} \right) - \left( {2n - 1} \right)}}\;(\;do\;\sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} \ne 0\)

                                                                    \( = \sqrt {2n + 1} - \sqrt {2n - 1} \)

Như vậy:

         \(S = f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) + f\left( 3 \right) + \ldots + f\left( {40} \right)\)

             \( = \left( {\sqrt 3 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 5 - \sqrt 3 } \right) + \left( {\sqrt 7 - \sqrt 3 } \right) + \ldots + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {79} } \right)\)

                                                                   \( = \sqrt {81} - \sqrt 1 = 9 - 1 = 8\)

Vậy giá trị \(S = 8\).