(a) Cho tan α − cot α = 7 với 0 < α < π/4 . Tính giá trị của biểu thức P = tan α + cot α . (b) Giải phương trình tan 3 x = tan x .

a) Ta có:

\(\tan \alpha - \cot \alpha = 7 \Rightarrow {\left( {\tan \alpha - \cot \alpha } \right)^2} = {7^2}\)

\( \Rightarrow {\tan ^2}\alpha - 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = 49 \Rightarrow {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha = 51\) (do \(\tan \alpha \cot \alpha = 1\)).

\({P^2} = {\left( {\tan \alpha + \cot \alpha } \right)^2} = {\tan ^2}\alpha + 2\tan \alpha \cot \alpha + {\cot ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha + 2\)

\( = 51 + 2 = 53 \Rightarrow P = \pm \sqrt {53} .\)

Mặt khác, \(0 < \alpha < \frac{\pi }{4} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan \alpha > 0\\\cot \alpha > 0\end{array} \right.\) nên \(\tan \alpha + \cot \alpha > 0.\)

Vậy \[P = \sqrt {53} .\]

b) Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}{\rm{cos}}3x \ne 0\\{\rm{cos}}x \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}\\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có: \(\tan 3x = \tan x\)\( \Leftrightarrow 3x = x + k\pi \)\( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}\).

Kết hợp với điều kiện, ta có \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = k\pi ,k \in \mathbb{Z}.\)