a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
2/21
a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông với góc A nhọn và C^≥B^ . Vẽ đường cao CD và đặt tên các độ dài như trong Hình 1.
Hãy thay ? bằng chữ cái thích hợp để chứng minh công thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA theo gợi ý sau:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (2)
cosA = ?b ⇒ ? = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có: a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
Lưu ý : Nếu B^>C^ thì ta vẽ đường cao BD và chứng minh tương tự.
b) Cho tam giác ABC với góc A tù. Làm tương tự như trên, chứng minh rằng ta cũng có:
a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
Lưu ý: Vì A tù nên cosA = −xb.
c) Cho tam giác ABC vuông tại A. Hãy chứng tỏ công thức a2 = b2 + c2 – 2bccosA có thể viết là a2 = b2 + c2.
a)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: cosA = ADAC=xb ⇒ x = bcosA.
Vậy lời giải đúng:
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (c – x)2 = d2 + x2 + c2 – 2xc. (1)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (2)
cosA = xb ⇒ x = bcosA. (3)
Thay (2) và (3) vào (1), ta có : a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
b) Với tam giác ABC có góc A tù :
Xét tam giác vuông BCD, ta có: a2 = d2 + (x + c)2 = d2 + x2 + c2 + 2xc. (4)
Xét tam giác vuông ACD, ta có: b2 = d2 + x2 ⇒ d2 = b2 – x2 (5)
cos CAD^ = ADAC=xb .
Do CAD^+CAB^=180o⇒CAB^=180o−CAD^ .
Suy ra: cos CAB^ = cos (180o−CAD^) = – cos CAD^ = −xb
⇒ cos CAB^ = −xb
⇒ x = –bcosCAB^, tức là x = – bcosA (6)
Thay (5) và (6) vào (4), ta được : a2 = b2 + c2 _ 2bccosA.
Vậy với tam giác ABC có góc A tù ta cũng có : a2 = b2 + c2 – 2bccosA.
c) Với tam giác ABC vuông tại A thì cosA = cos90° = 0.
Suy ra a2 = b2 + c2 – 2bccosA = b2 + c2 – 2bc.0 = b2 + c2.
Vậy a2 = b2 + c2.