a) Cho phương trình {x^2} - 8x + 4 - 8m = 0.\) Tìm m để phương trình có hai nghiệm

a) Cho phương trình \({x^2} - 8x + 4 - 8m = 0{\rm{  }}\left( 1 \right).\) Tìm \(m\) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,{\rm{ }}{x_2}\) thỏa mãn \(1 < {x_1} < {x_2}.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 12 + 8m > 0 \Leftrightarrow m >  - \frac{3}{2}.\)  

Vì \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của \(\left( 1 \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 8\\{x_1}{x_2} = 4 - 8m\end{array} \right..\)

Ta có \[1 < {x_1} < {x_2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) > 0\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8 > 2\\4 - 8m - 8 + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 8m - 3 > 0 \Leftrightarrow m <  - \frac{3}{8}.\)

Vậy \( - \frac{3}{2} < m <  - \frac{3}{8}\) là các giá trị cần tìm.

b) Gọi \(a,\,\,b,\,\,c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\) và \(a + b - c = \sqrt 3 .\) Tính giá trị biểu thức \(A = \sqrt {{a^2} + 1}  + 3bc.\)

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca \Leftrightarrow 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\( \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = b = c.\)

Mà \(a + b - c = \sqrt 3  \Leftrightarrow a = b = c = \sqrt 3 .\)

Suy ra \(A = \sqrt {{a^2} + 1}  + 3bc = 11.\)