a) Cho phương trình A = 2.{1^{2023}} + {2^{2023}}

a) Với 2 số nguyên dương \[a,b\] bất kì ta có: \({a^{2023}} + {b^{2023}} \vdots (a + b)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\left[ {{1^{2023}} + {{2021}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\2\left[ {{2^{2023}} + {{2020}^{2023}}} \right] \vdots 2022\\...\\2\left[ {{{1010}^{2023}} + {{1012}^{2023}}} \right] \vdots 2022\end{array}\)

Và \({2.1011^{2023}} \vdots 2022\) ; \({2022^{2023}} \vdots 2022\)

Suy ra \(A = 2\left( {{1^{2023}} + {2^{2023}} + ... + {{2022}^{2023}}} \right) \vdots 2022\)

b) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: \(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21\) (1)

\(2{x^2} + 5{y^2} + 4x = 21 \Leftrightarrow 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\left( {4 - {y^2}} \right)\)

Mà \(2{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\)\( \Rightarrow 5\left( {4 - {y^2}} \right) \ge 0 \Leftrightarrow {y^2} \le 4 \Rightarrow {y^2} \in \left\{ {1;4} \right\}\)

+ \({y^2} = 1\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{x = - 4}\end{array}} \right.\)

+ \({y^2} = 4\)vào (1) tìm được \(2{x^2} + 4x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2}}\\{x = \frac{{ - 2 - \sqrt 6 }}{2}}\end{array}} \right.\)

 Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là: \[\left( {2,1} \right);\left( {2, - 1} \right);\left( { - 4,1} \right);\left( { - 4, - 1} \right)\].