(a) Cho phân số A = 3 x − 7/x + 4 . Tìm số nguyên x để phân số A có giá trị là số tự nhiên. (b) Cho n là số nguyên dương biết n và 2025 nguyên tố cùng nhau.

a) \(A = \frac{{3x - 7}}{{x + 4}} = \frac{{3\left( {x + 4} \right) - 19}}{{x + 4}}\)\( = 3 - \frac{{19}}{{x + 4}}\)

Để \(A\) là số tự nhiên thì \(\frac{{19}}{{x + 4}}\) là số nguyên, tức là \(x + 4\) là ước nguyên của 19

Thay các giá trị của \(x\) vào biểu thức \(A\) ta loại \(x = - 3\) vì biểu thức \(A\) không là số tự nhiên.

Vậy \(x = - 23; - 5;15\) thì biểu thức \(A\) là số tự nhiên.

b) Xét các số \(n;{n^2};{n^3};...;{n^{2025}};{n^{2026}}\) có tổng cộng 2026 số hạng.

Vì \(\left( {n;2025} \right) = 1\) nên theo Dirichlet luôn tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2025

Giả sử hai số đó là \({n^u}\) và \({n^t}\)

Khi đó ta có: \({n^u} - {n^t} \vdots 2025\) suy ra \({n^t}\left( {{n^{u - t}} - 1} \right) \vdots 2025\), mà \({n^t}\cancel{ \vdots }2025\)

Suy ra: \({n^{u - t}} - 1 \vdots 2025\) hay \({n^k} \vdots 2025\) với \(k = u - t\).

Vậy luôn tồn tại một số \(k\) nguyên dương sao cho \({n^k} - 1\) chia hết cho 2025.