a) Cho m,p, r là các số nguyên tố thỏa mãn \(mp + 1 = r\). Chứng minh rằng

a)Vì \(m,\,p\) là các số nguyên tố nên \(mp \ge 4\). Do đó, \(r \ge 5\). Mà \(r\) là nguyên tố nên r là số lẻ.

Vì thế, \(mp = r - 1\) là một số chẵn. Suy ra, trong hai số \(m,\,p\), có ít nhất một số bằng 2.

- Nếu \(m = 2\) thì \(r = 2p + 1\). Do đó:

\({p^2} + r = {p^2} + 2p + 1 = {\left( {p + 1} \right)^2}\),

Là một số chính phương.

- Nếu \(p = 2\) thì \(r = 2m + 1\). Do đó

\({m^2} + r = {m^2} + 2m + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2}\) là một số chính phương

b)Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương

\[n,\,k\] sao cho \({n^2} + 22q = {11^k}\). (1)

Do \({n^2} + 22q > 11\) nên \({11^k} > 11\); suy ra \(k \ge 2\). Vì thế, từ (1), ta có:

\(\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}\). (2)

Do \(22q \vdots 11\) nên từ (1) suy ra, \({n^2} \vdots 11\); mà 11 là số nguyên tố, nên \({n^2} \vdots {11^2}\). (3)

Từ (2) và (3) suy ra, \(22q \vdots {11^2}\). Do đó,  \[q \vdots 11\]; mà \[q\] là số nguyên tố nên \(q = 11\).

Ngược lại, với \(q = 11\), ta có: \({33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}\).

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là \(q = 11\).