a) Cho hình vuông ABCD cạnh a , M là trung điểm của AB , G là trọng tâm tam giác ADM . Phân tích −−→ MG theo hai vectơ −−→ AB và −−→ AD .

37/38

(1,0 điểm).

a) Cho hình vuông $ABCD$ cạnh \[a\], \[M\] là trung điểm của\[AB\], \[G\] là trọng tâm tam giác $ADM$. Phân tích $\overrightarrow {MG} $ theo hai vectơ $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {AD} $.

b) Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài bằng \[a\]. Một điểm $M$di động sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right|$. Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên $AB$. Tính độ dài lớn nhất của $MH$?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

$Vậy độ dài lớn nhất của $MH$ là (ảnh 1)$

Gọi $N$ là trung điểm của \[AD\]

Xet tam giác $ADM$ có: $\overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} $

$ \Rightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} } \right)$

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $

$ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} $.

$Vậy độ dài lớn nhất của $MH$ là (ảnh 2)$

Ta có: $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {BA} $

$ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {MI} } \right| = 2MI,\left| {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = AB$

$ \Rightarrow 2MI = AB$ hay $MI = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}$

Suy ra tam giác $ABM$ vuông tại $M$và nội tiếp đường tròn tâm $I$ bán kính $\frac{{AB}}{2}$.

Khi đó $MH \le MI$

$ \Rightarrow MH \le \frac{a}{2}$

Vậy độ dài lớn nhất của $MH$ là bằng $\frac{a}{2}$ khi $H$ trùng với với $I$.