a) Cho hai số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn

a) Cho hai số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn \({a^3} \vdots b;{b^3} \vdots a\). Chứng minh \(\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \vdots ab\)

Vì \({a^3} \vdots b\) nên \({a^3}.a \vdots b.a\) hây \({a^4} \vdots ab\). Tương tự, vì \({b^3} \vdots a\) nên \({b^3}.b \vdots a.b\) hay \({b^4} \vdots ab\). Từ đấy suy ra \(\left( {{a^4} + {b^4}} \right) \vdots ab\).

b) Tìm tất cả các cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(x\left( {{x^2} - y} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\)

Từ đề bài \(x\left( {{x^2} - y} \right) + \left( {y - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\) ta rút ra \(y = \frac{{ - {x^3} + 3{x^2} + 3}}{{{x^2} - x + 1}} = - x + 2 + \frac{{3x + 1}}{{{x^2} - x + 1}}\)

(Vì \[{x^2} - x + 1 > 0\;voi\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} moi\;{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} x)\]

Khi x nguyên, để y là nguyên thì\(\;\left( {3x + 1} \right) \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right)\) do đó;

\({\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {9{x^2} + 6x + 1} \right) = 9\left( {{x^2} - x + 1} \right) + \left( {15x - 8} \right) \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right)\) hay \(\left( {15x - 8} \right) \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

Suy ra 3=\(\left[ {5\left( {3x + 1} \right) - \left( {15x - 8} \right)} \right] \vdots \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

Như vậy:

v\({x^2} - x + 1 = 13 \Rightarrow {x^2} - x - 12 = 0 \Rightarrow x = - 3\) hoặc \(x = 4\)

Với \(x = - 3\) thì \(y = \frac{{57}}{{13}}\) (không nguyên); với \(x = 4\) thì \(y = - 1\) (nguyên).

v\({x^2} - x + 1 = 1 \Rightarrow {x^2} - x = 0 \Rightarrow x = 0\) hoặc

Với \(x = 0\) thì \(y = 3\) (nguyên); với \(x = 1\) thì \(y = 5\) (nguyên).

Thử lại thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy có 3 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là (0; 3), (1;5) và (4; -1).