(a) Cho dãy số ( u n ) , biết u 1 = 2 và u n + 1 = u n − 3 . Chứng minh ( u n ) là một cấp số cộng và tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
27/29
(a) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng và tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
(b) Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm thì trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu centimét để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó?
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 3\) là một số không đổi nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai là \(d = - 3.\)
Do đó, \({u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d = 2 + \left( {5 - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 10.\)
b) Tổng độ dài các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:
\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)
Dãy số \(10;\,\,5;\,\,\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{{{2^2}}};...\,\,\)là một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;\,q = \frac{1}{2}\).
Do đó ta có \(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + .... = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).
Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 centimét.