a) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x < y và 3(x^2) + 2(y^2) = 5xy. Tính giá trị của biểu thức S = (y + 2x)/(y - 2x)

Hướng dẫn giải

a) Từ \(3{x^2} + 2{y^2} = 5xy\) ta có

\[3{x^2} + 2{y^2} - 5xy = 0\]

\[3{x^2} - 3xy + 2{y^2} - 2xy = 0\]

\[3x\left( {x - y} \right) + 2y\left( {y - x} \right) = 0\]

\[\left( {x - y} \right)\left( {3x - 2y} \right) = 0\]

Suy ra \(3x = 2y\) (vì \(x < y\) nên \(x - y \ne 0)\)

Hay \(y = 1,5x\)

Ta có \(S = \frac{{y + 2x}}{{y - 2x}} = \frac{{1,5x + 2x}}{{1,5x - 2x}} = \frac{{3,5x}}{{ - 0,5x}} =  - 7.\)

Vậy \(S =  - 7.\)

b) Ta có \(\frac{M}{{41}} = \frac{{7{x^2} - 13xy + {y^2}}}{{2{x^2} + xy + 3{y^2}}}\).

Nếu \(y = 0\) thì \({x^2} = \frac{{41}}{2}\). Do đó \(M = \frac{{287}}{2}\).

Nếu \(y \ne 0\) thì \(P = \frac{M}{{41}} = \frac{{7{t^2} - 13t + 1}}{{2{t^2} + t + 3}}\) với \(t = \frac{x}{y}\).

Ta được \(\left( {2P - 7} \right){t^2} + \left( {P + 13} \right)t + 3P - 1 = 0\)

Suy ra \({\left[ {t + \frac{{P + 13}}{{2.\left( {2P - 7} \right)}}} \right]^2} = \frac{{{{\left( {P + 13} \right)}^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right)}}{{4.{{\left( {2P - 7} \right)}^2}}}\).

Phương trình trên có nghiệm nên \({\left( {P + 13} \right)^2} - 4\left( {2P - 7} \right)\left( {3P - 1} \right) \ge 0\)

Suy ra \(\left( {P + 1} \right)\left( {141 - 23P} \right) \ge 0\)

Do đó \( - 1 \le P \le \frac{{141}}{{23}}\)

Nên \( - 41 \le M \le \frac{{5781}}{{23}}\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\) là \(\frac{{5781}}{{23}}\) khi \(x = \frac{{ - 20}}{{\sqrt {23} }},\,\,y = \frac{{11}}{{\sqrt {23} }}\).