a) Cho các số nguyên \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0.\) Chứng

a)  Ta có:      \({a^3} + {b^3} - 8{c^3} + 28{d^3} = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} + {d^3} \vdots 3\)

                    \( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right) + {\left( {c + d} \right)^3} - 3cd\left( {c + d} \right) \vdots 3\)

                    \( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^3} + {\left( {c + d} \right)^3} \vdots 3\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} - 3\left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right)\left( {a + b + c + d} \right) \vdots 3\)

                                               \( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^3} \vdots 3\)

                                                                    \( \Rightarrow a + b + c + d \vdots 3\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b + c + d} \right)^2} \vdots 9\) (đpcm)

b) Xét đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\), với \(a \in \mathbb{R}\), đa thức \(P\left( x \right)\) có bậc là 2024

Ta có:

\(P\left( {{x^2} - 2} \right) = a.{\left( {{x^2} - 1} \right)^{1012}}{\left( {{x^2} - 4} \right)^{1012}} = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}{\left( {x - a} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)

\( = P\left( x \right){\left( {x - 1} \right)^{1012}}{\left( {x + 2} \right)^{1012}}\)

\( \Rightarrow P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\)

Vậy tồn tại đa thức \(P\left( x \right) = a{\left( {x + 1} \right)^{1012}}{\left( {x - 2} \right)^{1012}}\) với hệ số thức, có bậc 2024 thỏa mãn đã thức \(P\left( {{x^2} - 2} \right)\) chia hết cho đa thức \(P\left( x \right)\).