a) Cho bảng ô vuông có kích thước \(4 \times 4\) như sau

a) Gọi\(M\) là số lớn nhất trong\(16\) số trên bảng

Ta thấy tổng\(4\) số lớn nhất trong bảng không vượt quá tổng của\(4\) số\(M,M - 1,M - 2,M - 3\)

Trong khi đó tổng của\(12\) số còn lại đạt được nhỏ nhất là tổng\(12\) số nguyên dương đầu tiên

Nên ta có\(M + \left( {M - 1} \right) + \left( {M - 2} \right) + \left( {M - 3} \right) \ge 1 + 2 + 3 + \cdots + 12 = 78\)

\( \Leftrightarrow 4M \ge 84\)

\( \Leftrightarrow M \ge 21\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của\(M\) là\(21\)

Xây dựng mô hình:

\(21\)	\(11\)	\(6\)	\(4\)
\(12\)	\(20\)	\(3\)	\(5\)
\(8\)	\(2\)	\(19\)	\(9\)
\(1\)	\(7\)	\(10\)	\(18\)

 

b) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} \le \frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{2\sqrt {bc} }} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{a}{c} - \frac{1}{{bc}}} = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \)

Lại theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\(\frac{1}{2}\sqrt {\frac{1}{c}\left( {a - \frac{1}{b}} \right)} \le \frac{1}{2}.\frac{{\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}}}{2} = \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)\)

Tương tự, ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{\frac{{\sqrt {bc - c} }}{{c + a}}}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{c} + a - \frac{1}{b}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {ca - 1} }}{a}\left( {\frac{1}{a} + b - \frac{1}{c}} \right)}\\{\frac{{\sqrt {c + b} }}{4}\left( {\frac{1}{b} + c - \frac{1}{a}} \right)}\end{array}} \right.\)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{{\sqrt {ab - 1} }}{{b + c}} + \frac{{\sqrt {bc - 1} }}{{c + a}} + \frac{{\sqrt {ca - 1} }}{{a + b}} \le \frac{{a + b + c}}{4}{\rm{\;}}\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi\(a = b = c = \sqrt 2 \)