a) Biểu diễn trong hệ trục tọa độ Oxy miền nghiệm của bất phương trình x + 2y ≤ 3.

a) Vẽ đường thẳng \(\Delta :x + 2y - 3 = 0\) đi qua 2 điểm \(A\left( {3;0} \right),B\left( {0;\frac{3}{2}} \right)\).

Lấy điểm \(O\left( {0;0} \right)\) có \(0 + 2.0 - 3 < 0\) đúng.

Suy ra miền nghiệm của BPT đã cho là nửa mặt phẳng bờ \(\Delta \) (kể cả \(\Delta \)) chứa điểm \(O\) như hình vẽ

b) Giả sử trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc. \((x,y \in N)\)

Từ giả thiết, ta được hệ bất phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\5x + 10y \le 600\\4x + 3y \le 240\end{array} \right.\]

Mỗi tháng khi bán \[x\] kệ sách và \[y\] bàn làm việc lợi nhuận thu được là

\[F\left( {x;y} \right) = 400x + 750y\]. (nghìn đồng)

Ta cần tìm giá trị lớn nhất của \[F\left( {x;y} \right)\] khi \[\left( {x;y} \right)\] thỏa mãn hệ bất phương trình trên.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác \[OABC\] với tọa độ các đỉnh \[O\left( {0;0} \right),A\left( {0;60} \right),B\left( {24;48} \right),C\left( {60;0} \right)\].

Tính giá trị của biểu thức \[F\] tại các đỉnh của tứ giác này

\[F\left( {0;0} \right) = 0,\quad F\left( {0;60} \right) = 45000,\quad F\left( {24;48} \right) = 45600,\quad F\left( {60;0} \right) = 24000.\]

So sánh các giá trị thu được của \[F\] ta được giá trị lớn nhất cần tìm là \[F\left( {24;48} \right) = 45600.\]

Vậy trong mỗi tháng cửa hàng cần làm \[24\] kệ sách và \[48\] bàn làm việc để lợi nhuận thu được là lớn nhất.