A B + B C < 2 B E .

S

Trên tia \(BE\) lấy điểm \(F\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(BF.\)

 

Ta có hai đường trung tuyến \(AM,CK\) cắt nhau ở \(H\).

Suy ra \(H\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Mà \(BH\) cắt \(AC\) tại \(E\) nên \(E\) là trung điểm của \(AC\).

Xét tam giác \(\Delta FAE\) và \(\Delta BCE\) có:

\(BE = EF\) (gt)

\(\widehat {CEB} = \widehat {AEF}\) (đối đỉnh)

\(AE = EC\)

Do đó, \(\Delta FAE = \Delta BCE\) (c.g.c)

Suy ra \(FA = BC\) (hai cạnh tương ứng)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABF\) có \(AB + AF > BF\). Suy ra \(AB + BC > 2BE\).