c) Theo câu a) ta có \(\Delta AHB = \Delta AHC\) nên \(BH = CH\) (hai cạnh tương ứng)

Nên \(AH\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\).

Xét \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(AH,BM\) cắt nhau tại \(O.\)

Nên \(O\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Suy ra \(OM = \frac{1}{3}BM\) và \(OB = \frac{2}{3}BM\) (1).

Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta OHC\), ta có:

\(\widehat {OHB} = \widehat {OHC} = 90^\circ \)

\(HB = HC\) (cmt)

\(OH\) chung

Suy ra \(\Delta OHB = \Delta OHC\) (c.g.c)

Nên \(OB = OC\) (hai cạnh tương ứng) (2)

Ta có: \(OK = OM + MK\)

Suy ra \(OK = \frac{1}{3}BM + BM\) (vì \(MK = BM\) và \(OM = \frac{1}{3}BM\))

Vậy \(OK = \frac{4}{3}BM\) (3)

Từ (1) và (2) suy ra \(OC = \frac{2}{3}BM\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(OK = 2.\frac{2}{3}BM = 2OC.\)

Vậy \(OK = 2OC.\)

A B + 2 B C < C I + 2 A E .