4) Gọi I và J lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp hai tam giác BDF và EDC. Chứng minh góc DIJ=DFC

Xét ∆ECD và ∆BCA có:

            Góc C chung

            CDCA=CECB (vì CACB=CDCE)

Vậy ∆ECD ~ ∆BCA (cạnh – góc – cạnh)

Chứng minh tương tự ta có: ∆BFD ~ ∆BCA

Vậy ∆ECD ~ ∆BFD (tính chất bắc cầu) Þ DCDF=DEDB (3); BDF^=EDC^;FBD^=CED^ 

Xét ∆BID và ∆EJD có

            IBD^=JED^ (vì FBD^=CED^)

            IDB^=JDE^ (vì BDF^=EDC^)

Vậy ∆BID ~ ∆EJD (góc – góc) Þ DEDB=DJDI (4)

Từ (3) và (4) Þ DCDF=DJDI

Dễ chứng minh: CDF^=JDI^ (cùng bù góc FDB)

Xét ∆DCF và ∆DJI có:

            CDF^=JDI^

            CDJD=FDID (vìDCDF=DJDI)

Vậy ∆DCF ~∆DJI (cạnh – góc – cạnh) Þ DIJ^=DFC^  (hai góc tương ứng)