4. Chứng minh MN=NH

4. Ta có MA=MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và OA=OB=R 

⇒MO là đường trung trực của AB 

⇒AH⊥MO và HA=HB 

ΔMAF và ΔMEA có:

AME^ chung

A1^=E1^ 

⇒ΔMAF ~ΔMEA(g.g)

⇒MAME=MFMA⇒MA2=MF.ME.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông MAO, ta có MA2=HO.MH.

Do đó ME.MF=MH.MO⇒MEMH=MOMF 

⇒ΔMFH~ΔMOE(c.g.c)

⇒H1^=E2^. 

Vì BAE^ là góc vuông nội tiếp (O) nên E, O, B thẳng hàng

⇒E2^=A2^ =12sdEB⏜⇒H1^=A2^⇒N1^+H1^=N1^+A2^=90°⇒HF⊥NA.

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA ta có NH2=NF.NA 

⇒NM2=NH2⇒MN=NH.