3) Tìm giá trị của x để biểu thức A+B đạt giá trị nguyên nhỏ nhất.

Với \(x \ge 0,\,x \ne 4,\) ta có:

\(A + B = \frac{{2\sqrt x + 7}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right) + 5}}{{\sqrt x + 2}} = 2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}}.\)

⦁ Do \(x \ge 0\)nên \(\sqrt x \ge 0.\)

Khi đó \(\sqrt x + 2 > 0\) nên \[\frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 0\]. Suy ra \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} > 2\) hay \(A + B > 2\,\,(1)\)

⦁ Vì\(\sqrt x \ge 0\) nên \(\sqrt x + 2 \ge 2.\) Suy ra \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{5}{2}.\) Do đó \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} \le \frac{9}{2}\) hay \(A + B \le \frac{9}{2}\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(2 < A + B \le \frac{9}{2}.\)

Để \(A + B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất thì \(A + B = 3.\)

Suy ra \(2 + \frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 3\)

                \(\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1\)

                 \(\sqrt x + 2 = 5\)

                 \(\sqrt x = 3\)

                  \(x = 9\) (thỏa mãn).

Vậy \(x = 9\,\)thì biểu thức \(A + B\) đạt giá trị nguyên nhỏ nhất bằng 3.