3. Gọi I là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoài tiếp của tam giác ADM và tam giác BCD.

3. Chứng minh ba điểm N, D, I thẳng hàng.

Ta có DIB^=DIA^=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

⇒DI⊥AB.

Theo chứng minh câu 1, MNCD là tứ giác nội tiếp nên ta có: MND^=MCD^ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MD).                                                                                                                                                  (1)

Xét đường tròn tâm O có MCD^=MCA^=MBA^(2 góc nội tiếp cùng chắn cung MA).       (2)

Từ (1) và (2), ta có: MND^=MBA^.

Mặt khác, ta có:

Tam giác MND vuông tại M nên MND^+MDN^=90∘.

Tam giác MAB vuông tại M nên MBA^+MAB^=90∘.

Do đó, ta có: MND^+MDN^=MBA^+MAB^.

Mà MND^=MBA^ (chứng minh trên), nên ta có: MDN^=MAB^.

Do MAID là tứ giác nội tiếp nên ta có:MAI^+MDI^=180∘ hay MAB^+MDI^=180∘

Suy ra MDN^+MDI^=180∘⇔IDN^=180∘.

Vậy, các điểm N, D, I thẳng hàng