3. Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BEF.

3) Chứng minh EM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ∆BEF

Trong tứ giác BFEC có: BFC^=BEC^=90o (vì BE ^ AC và CF ^ AB)

mà hai góc này cùng chắn cạnh BC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Hay ∆BEF nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Vì M là trung điểm của cạnh huyền AH trong tam giác vuông AEH nên ME = MH Þ ∆MEH cân tại M

Þ MEH^=MHE^ hay MEB^=AHE^ mà AHE^ phụ HAE^ (∆AHE vuông tại E)

Þ MEB^ phụ HAE^ hay MEB^ phụ DAC^

Mặt khác ACD^ phụ DAC^ (∆ADC vuông tại D) hay ECB^ phụ DAC^

Vậy  MEB^=ECB^ (cùng phụ DAC^)

Trong đường tròn ngoại tiếp ∆BEF có MEB^=ECB^ Þ ME là tiếp tuyến tại E của đường tròn này (vì có góc tạo bởi tia tiếp tuyến và góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Cách 2: Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh ME ^ EO

Trong tứ giác BFEC có: BFC^=BEC^=90o (vì BE ^ AC và CF ^ AB) mà hai góc này cùng chắn cạnh BC nên tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn có tâm O là trung điểm BC.

Hay ∆BEF nội tiếp đường tròn tâm O.

Vì M là trung điểm của cạnh huyền AH trong tam giác vuông AEH nên ME = MH Þ ∆MEH cân tại M

Þ MEH^=MHE^ mà MHE^=BHD^ nên MEH^=BHD^ (1)

Tương tự:

Lại có O là trung điểm của cạnh huyền BC trong tam giác vuông BEC nên OE = OB

Þ ∆OBE cân tại O

Þ BEO^=EBO^ hay HEO^=HBD^ (2)

Từ (1) và (2) ta có: MEH^+HEO^=BHD^+HBD^

⇒MEO^=90o (vì ∆HBD vuông tại D)

Þ ME ^ OE mà E thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp ∆BEF

Þ ME là tiếp tuyến của đường tròn ngoại