2) Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. a) Tính AD,DC.

Hướng dẫn giải

1)    ⦁ Hình 1: Tam giác \[ABC\] có \[M,\,\,N\] lần lượt là trung điểm của \[AB\] và \[AC\] nên \[MN\] là đường trung bình của tam giác. Do đó \[MN = \frac{1}{2}BC.\] Suy ra \[x = BC = 2MN = 2 \cdot 3,5 = 7\left( {{\rm{cm}}} \right).\] Vậy \(x = 7{\rm{\;cm}}.\)	Hình 1
⦁ Hình 2: Ta có: \[EF \bot MN,\,\,NP \bot MN\] nên \[EF\,{\rm{//}}\,NP.\] \(MP = MF + FP = 5 + 15 = 20.\) Tam giác \[MNP\] có \[EF\,{\rm{//}}\,NP,\] theo định lí Thalès ta có: \[\frac{{ME}}{{MN}} = \frac{{MF}}{{MP}}\] hay \(\frac{3}{y} = \frac{5}{{20}},\) suy ra \(y = \frac{{3 \cdot 20}}{5} = 12.\) Vậy \(y = 12.\)	Hình 2

2)

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(BD\) là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \[\frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{DC}}\] (tính chất đường phân giác), do đó \[\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}}.\]

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \[\frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{DA}}{{BA}} = \frac{{DC + DA}}{{BC + BA}} = \frac{{AC}}{{BC + BA}} = \frac{5}{{6 + 4}} = \frac{1}{2}.\]

Do đó \(AD = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2{\rm{\;cm}};\) \(DC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3{\rm{\;cm}}.\)

b) Xét \(\Delta BCD\) có \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {DCB}\) nên \[\frac{{DI}}{{BI}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{1}{2}\] (tính chất đường phân giác), suy ra \[\frac{{DI}}{{BI + DI}} = \frac{1}{{2 + 1}},\] hay \(\frac{{DI}}{{DB}} = \frac{1}{3}.\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có:

⦁ \(\frac{{BE}}{{EA}} = \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{6}{5},\) suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{6}{{11}}.\)

⦁ \(\frac{{AD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{5},\) suy ra \(\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\)

c) Gọi \({h_1},\,\,{h_2},\,\,{h_3}\) lần lượt là độ dài đường cao kẻ từ \(E\) đến \(BD;\) độ dài đường cao kẻ từ \(D\) đến \(AB;\) độ dài đường cao kẻ từ \(B\) đến \(AC.\)

Ta có: \[{S_{DIE}} = \frac{1}{2} \cdot {h_1} \cdot DI;\] \({S_{BDE}} = \frac{1}{2}{h_1} \cdot BD = \frac{1}{2}{h_2} \cdot BE;\)

\({S_{ABD}} = \frac{1}{2}{h_2} \cdot AB = \frac{1}{2}{h_3} \cdot AD;\) \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot {h_3} \cdot AC.\)

Do đó \[\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{BDE}}}} = \frac{{\frac{1}{2} \cdot {h_1} \cdot DI}}{{\frac{1}{2}{h_1} \cdot BD}} = \frac{{DI}}{{BD}} = \frac{1}{3};\] \[\frac{{{S_{BDE}}}}{{{S_{ABD}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_2} \cdot BE}}{{\frac{1}{2}{h_2} \cdot AB}} = \frac{{BE}}{{AB}} = \frac{6}{{11}};\]

\[\frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}{h_3} \cdot AD}}{{\frac{1}{2}{h_3} \cdot AC}} = \frac{{AD}}{{AC}} = \frac{2}{5}.\]

Khi đó \[{S_{DIE}} = \frac{1}{3}{S_{BDE}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{11}}{S_{ABD}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{{11}} \cdot \frac{2}{5}{S_{ABC}} = \frac{4}{{55}}{S_{ABC}}.\]

Suy ra \(\frac{{{S_{DIE}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{4}{{55}}.\)