(2,5 điểm) 1. Xác định giá trị của a và b để đường thẳng y = a x + b đi qua hai điểm M ( 3 ; − 5 ) và N ( 1 ; 2 ) . 2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

Hướng dẫn giải

1. Do đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(M\left( {3;\,\, - 5} \right)\) nên thay \(x = 3,\,\,y = - 5\) vào hàm số \(y = ax + b,\) ta được: \( - 5 = 3a + b\).

Tương tự, do đường thẳng đi qua điểm \(N\left( {1;\,\,2} \right)\) nên ta có: \(2 = a + b\).

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3a + b = - 5}\\{a + b = 2}\end{array}} \right.\).

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

\(2a = - 7,\) suy ra \(a = - \frac{7}{2}\).

Thay \(a = - \frac{7}{2}\) vào phương trình \(a + b = 2\), ta được:

\( - \frac{7}{2} + b = 2,\) suy ra \(b = \frac{{11}}{2}\).

Vậy \(a = - \frac{7}{2}\) và \(b = \frac{{11}}{2}\).

2. Gọi số có hai chữ số cần tìm là \(\overline {xy} {\rm{ }}\left( {x \in \mathbb{N}*,\,\,y \in \mathbb{N}*,\,\,0 < x \le 9,\,\,0 \le y \le 9} \right).\)

Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới là \(\overline {yx} \).

Ta có: \(\overline {xy} = 10x + y\) và \(\overline {yx} = 10y + x\).

Theo bài, nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số mới lớn hơn số đã cho là \(63\) nên ta có phương trình: \(10y + x = \left( {10x + y} \right) + 63\) hay \( - 9x + 9y = 63\) nên \(x - y = - 7.\) (1)

Mặt khác, tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng \(99\) nên ta có phương trình: \(\left( {10x + y} \right) + \left( {10y + x} \right) = 99\) hay \(11x + 11y = 99\) nên \(x + y = 9.\) (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 7\\x + y = 9.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(2x = 2,\) suy ra \(x = 1\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 1\) vào phương trình \(x + y = 9,\) ta được: \(1 + y = 9,\) suy ra \(y = 8\) (thỏa mãn).

Vậy số cần tìm là \(18\).