(2,5 điểm) 1. Xác định a và b sao cho hệ phương trình { a x + 2 b y = − 18 b x − 3 a y = − 3 nhận cặp số ( − 3 ; 2 ) làm nghiệm. 2. Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương

Hướng dẫn giải

1. Để hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + 2by = - 18\\bx - 3ay = - 3\end{array} \right.\) nhận cặp số \(\left( { - 3;\,\,2} \right)\) làm nghiệm thì \(x = - 3\) và \(y = 2\) thỏa mãn hệ phương trình. Khi đó, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}a \cdot \left( { - 3} \right) + 2b \cdot 2 = - 18\\b \cdot \left( { - 3} \right) - 3a \cdot 2 = - 3\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 6a - 3b = - 3\end{array} \right.\).

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \(\frac{4}{3},\) ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l} - 3a + 4b = - 18\\ - 8a - 4b = - 4\end{array} \right.\).

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\( - 11a = - 22\) suy ra \(a = 2\).

Thay \(a = 2\) vào phương trình \( - 3a + 4b = - 18\), ta được:

\( - 3 \cdot 2 + 4b = - 18\), suy ra \(4b = - 12\) nên \(b = - 3\).

Vậy \(a = 2\) và \(b = - 3\).

2. Gọi \(x,\,\,y\) (km/h) lần lượt là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng và vận tốc dòng nước \(\left( {x > y > 0} \right).\)

Vận tốc của thuyền khi đi xuôi dòng là: \(x + y\) (km/h).

Vận tốc của thuyền khi đi ngược dòng là: \(x - y\) (km/h).

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(40\) km là: \(\frac{{40}}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(40\) km là: \[\frac{{40}}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, chiếc thuyền xuôi dòng và ngược dòng trên khúc sông dài \(40\) km hết \(4\) giờ \(30\) phút \(( = 4,5\) giờ) nên ta có phương trình: \(\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\). (1)

⦁ Thời gian thuyền đi xuôi dòng \(5\) km là: \(\frac{5}{{x + y}}\) (giờ).

Thời gian thuyền đi ngược dòng \(4\) km là: \[\frac{4}{{x - y}}\] (giờ).

Theo bài, thời gian thuyền xuôi dòng \(5\) km bằng thời gian thuyền ngược dòng \(4\) km nên ta có phương trình: \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\). (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{5}{{x + y}} - \frac{4}{{x - y}} = 0\end{array} \right.\)

Cách 1. Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 8, ta được \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{40}}{{x + y}} + \frac{{40}}{{x - y}} = 4,5\\\frac{{40}}{{x + y}} - \frac{{32}}{{x - y}} = 0\end{array} \right.\) Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được: \(\frac{{72}}{{x - y}} = 4,5,\) suy ra \(\frac{1}{{x - y}} = 0,0625\) nên \(x - y = 16.\) (3) Thay \(\frac{1}{{x - y}} = 0,0625\) vào phương trình \(\frac{5}{{x + y}} = \frac{4}{{x - y}},\) ta được: \(\frac{5}{{x + y}} = 4 \cdot 0,0625\) suy ra \(\frac{5}{{x + y}} = 0,25\) nên \(x + y = 20\). (4) Từ phương trình (3) và phương trình (4), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.\) Cách 2. Đặt \(a = \frac{1}{{x + y}}\) và \(b = \frac{1}{{x - y}}\) \(\left( {a > 0;\,\,b > 0} \right)\), ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a = 4b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\5a - 4b = 0\end{array} \right.\) Nhân hai vế của phương trình thứ hai của hệ trên với 10, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}40a + 40b = 4,5\\50a - 40b = 0\end{array} \right.\) Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: \(90a = 4,5\), suy ra \(a = \frac{1}{{20}}\) (thỏa mãn). Thay \(a = \frac{1}{{20}}\) vào phương trình \(5a = 4b\), ta được: \[5 \cdot \frac{1}{{20}} = 4b,\] suy ra \(b = \frac{1}{{16}}\) (thỏa mãn). Với \(b = \frac{1}{{16}}\) ta có: \(\frac{1}{{x - y}} = \frac{1}{{16}}\) suy ra \(x - y = 16\). (3’) Với \(a = \frac{1}{{20}}\) ta có \(\frac{1}{{x + y}} = \frac{1}{{20}}\) suy ra \(x + y = 20\). (4’) Từ phương trình (3’) và phương trình (4’), ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 20}\\{x - y = 16.}\end{array}} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được:

\(2x = 36,\) suy ra \(x = 18\) (thỏa mãn).

Thay \(x = 18\) vào phương trình \(x + y = 20\), ta được:

\(18 + y = 20\), suy ra \(y = 2\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h.