1.Giải phương trình và hệ phương trình sau:
Cách giải:
1. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) \[{x^4}--3{x^2}--4 = 0\left( 1 \right)\]
Đặt \[t = {x^2}(t \ge 0)\]
Khi đó \[\left( 1 \right) \Leftrightarrow {t^2}--3t--4 = 0\]
Do \[a--b + c = 1--\left( {--3} \right)--4 = 0\]nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt\(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = - 1(ktm)\\{t_2} = 4(tm)\end{array} \right.\)
Với \(t = 4 \Rightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 2\end{array} \right.\) (thỏa mãn)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {--2;2} \right\}.\]
b) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\3x + 2y = 1\end{array} \right.\)
Ta có\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4x - 2y = 6\\3x + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x = 7\\2x - y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2x - 3 = 2 - 3 = - 1\end{array} \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \[\left( {x;y} \right) = \left( {1; - 1} \right).\]
2. Cho phương trình\[{x^2} - 2\left( {m--1} \right)x + {m^2}--4 = 0\], với \[m\]là tham số.
a) Tìm \[m\]để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Xét \[\Delta ' = {\left( {m--1} \right)^2}--1\left( {{m^2}--4} \right) = {m^2}--2m + 1--{m^2} + 4 = 5--2m\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ'>0⇔5−2m>0⇔m<52
Vậy \(m < \frac{5}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Khi phương trình có hai nghiệm\[{x_1},{x_2}\], tìm tất cả các giá trị của m để biểu thức \(P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất.
Để phương trình có \[2\] nghiệm \[{x_1},{x_2},\]thì Δ'>0⇔5-2m>0⇔m<52
Khi đó áp dụng hệ thức Vi-et ta có\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2(m - 1)\\{x_1}.{x_2} = {m^2} - 4\end{array} \right.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}P = x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} + {m^2} = x_1^2 + 2{x_1}{x_2} + x_2^2 - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = {({x_1} + {x_2})^2} - {x_1}{x_2} + {m^2}\\ = \left[ {2{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \right] - ({m^2} - 4) + {m^2}\\ = 4{(m - 1)^2} - {m^2} + 4 + {m^2}\\ = 4{(m - 1)^2} + 4\end{array}\)
Do \({(m - 1)^2} \ge 0\,\forall m \Rightarrow 4{(m - 1)^2} + 4 \ge 4 \Rightarrow P \ge 4\)
Dấu bằng xảy ra khi \(m = 1\) (thỏa mãn \(m \le \frac{5}{2}\))
Vậy \({P_{\min }} = 4\) khi \(m = 1\).