1.Chứng minh \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ với mọi số tự nhiên \(n.\)

1.Ta có \({n^2} + 3n + 1 = n(n + 1) + 2n + 1.\)

Do \(n(n + 1)\) chẵn, \(2n + 1\) lẻ nên \({n^2} + 3n + 1\) là số lẻ.

2.Do vai trò \(a,b\) bình đẳng nên ta có thể giả sử \(b \le a\).

Khi đó \({\left( {2a} \right)^2} < 4{a^2} + b + 4 \le 4{a^2} + a + 4 \le 4{a^2} + 4a + 1 = {\left( {2a + 1} \right)^2}\)

Suy ra \(4{a^2} + b + 4 = {\left( {2a + 1} \right)^2} \Rightarrow b = 4a - 3.\)

Khi đó \({\left( {8a - 6} \right)^2} < 4{b^2} + a + 4 = 64{a^2} - 95a + 40 < {\left( {8a - 4} \right)^2}\)

Suy ra \(64{a^2} - 95a + 40 = {\left( {8a - 5} \right)^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow b = 1.\)

Thử lại thấy thỏa mãn. Vậy \(a = 1;b = 1.\)